組圖:千古絕技 中國古代數學家的割圓術

2005-11-16 00:11 「圜，一中同長也」。意思是說：圓只有一個中心，圓周上每一點到中心的距離相等。早在我國先秦時期，《墨經》上就已經給出了圓的這個定義，而公元前11世紀，我國西周時期數學家商高也曾與周公討論過圓與方的關係。認識了圓，人們也就開始了有關於圓的種種計算，特別是計算圓的面積。我國古代數學經典《九章算術》在第一章「方田」章中寫到「半周半徑相乘得積步」，也就是我們現在所熟悉的這個公式。為了證明這個公式，我國魏晉時期數學家劉徽於公元263年撰寫《九章算術注》，在這一公式後面寫了一篇1800餘字的注記，這篇注記就是數學史上著名的「割圓術」。



根據劉徽的記載，在劉徽之前，人們求證圓面積公式時，是用圓內接正十二邊形的面積來代替圓面積。應用出入相補原理，將圓內接正十二邊形拼補成一個長方形，借用長方形的面積公式來論證《九章算術》的圓面積公式。劉徽指出，這個長方形是以圓內接正六邊形周長的一半作為長，以圓半徑作為高的長方形，它的面積是圓內接正十二邊形的面積。這種論證「合徑率一而弧周率三也」，即後來常說的「週三徑一」，當然不嚴密。他認為，圓內接正多邊形的面積與圓面積都有一個差，用有限次數的分割、拼補，是無法證明《九章算術》的圓面積公式的。因此劉徽大膽地將極限思想和無窮小分割引入了數學證明。他從圓內接正六邊形開始割圓，「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體，而無所失矣。」也就是說將圓內接正多邊形的邊數不斷加倍，則它們與圓面積的差就越來越小，而當邊數不能再加的時候，圓內接正多邊形的面積的極限就是圓面積。劉徽考察了內接多邊形的面積，也就是它的「冪」，同時提出了「差冪」的概念。「差冪」 是後一次與前一次割圓的差值，可以用圖中陰影部分三角形的面積來表示。同時，它與兩個小黃三角形的面積和相等。劉徽指出，在用圓內接正多邊形逼近圓面積的過程中，圓半徑在正多邊形與圓之間有一段余徑。以余徑乘正多邊形的邊長，即2倍的「差冪」，加到這個正多邊形上，其面積則大於圓面積。這是圓面積的一個上界序列。劉徽認為，當圓內接正多邊形與圓是合體的極限狀態時，「則表無餘徑。表無餘徑，則冪不外出矣。」就是說，余徑消失了，余徑的長方形也就不存在了。因而，圓面積的這個上界序列的極限也是圓面積。於是內外兩側序列都趨向於同一數值，即，圓面積。 　



郭書春（中國科學院自然科學史所研究員）：

在證明這個圓面積公式的時候有兩個重要思想，一個就是我們現在所講的極限思想。那麼第二步，更關鍵的一步，他把與圓周合體的這個正多邊形，就是不可再割的這個正多邊形，進行無窮小分割，再分割成無窮多個以圓心為頂點，以多邊形每邊為底的無窮多個小等腰三角形，這個底乘半徑為小三角形面積的兩倍，把所有這些底乘半徑加起來，應該是圓面積的兩倍。那麼就等於圓周長乘半徑等於兩個圓面積。所以一個圓面積等於半周乘半徑，所以劉徽說故半周乘半徑而為圓冪。那麼他的原話就是「以一面乘半徑，觚而裁之，每輒自倍。故以半周乘半徑而為圓冪」。最後完全證明了圓面積公式，證明了圓面積公式，也就證明了「週三徑一」的不精確。隨著圓面積公式的證明，劉徽也創造出了求圓周率精確近似值的科學程序。在劉徽之前古希臘數學家阿基米德也曾研究過求解圓周率的問題。

李文林（中國科學院數學與系統科學研究院研究員）：

阿基米德算圓周率的方法，根據記載，他是通過圓內接正多邊形的邊長和圓外切正多邊形的邊長，從正六邊形開始加倍進行來逼近。

在考慮圓的問題時，除了考察內接多邊形以外，又考察外切多邊形。是歷來數學家們常常使用的做法，似乎已約定俗成。而劉徽獨闢蹊徑，他利用「冪」和「差冪」來代替對圓的外切近似，巧妙地避開了對外切多邊形的計算，在計算圓面積的過程中收到了事半功倍的效果。劉徽用「差冪」對割到192邊形的數據進行再加工，通過簡單的運算，竟可以得到3072多邊形的高精度結果，附加的計算量幾乎可以忽略不計，這一點可謂是割圓術中最精彩的部分之一。正是基於這一運算，劉徽得出的圓周率，為3.1416，計算精度超過了阿基米德。

圓面積的計算非常具有實用價值，而圓面積公式的證明則是一項抽象的數學推理論證過程。那麼《割圓術》又是在怎樣的背景下產生的呢？

郭書春（中國科學院自然科學史所研究員）：

劉徽所處的時代是社會上軍閥割據，特別當時是魏、蜀、吳三國割據，那麼在這個時候中國的社會、政治、經濟發生了極大的變化，特別是思想界，文人學士們互相進行辯難，所以當時成為辯難之風，一幫文人學士找到一塊，就像我們大專辯論會那樣，一個正方一個反方，提出一個命題來大家互相辯論，在辯論的時候人們就要研究討論關於辯論的技術，思維的規律，所以在這一段人們的思想解放，應該說是在春秋戰國之後沒有過的，這時人們對思維規律研究特別發達，有人認為這時人們的抽象思維能力遠遠超過春秋戰國。

劉徽在《九章算術注》的自序中表明，把探究數學的根源，作為自己從事數學研究的最高任務。他注《九章算術》的宗旨就是「析理以辭，解體用圖」。「析理」 就是當時學者們互相辯難的代名詞。劉徽通過析數學之理，建立了中國傳統數學的理論體系。眾所周知，古希臘數學取得了非常高的成就，建立了嚴密的演繹體系。然而，劉徽的 「割圓術」卻在人類歷史上首次將極限和無窮小分割引入數學證明，成為人類文明史中不朽的篇章。