算术漫谈：八卦中的数字规律（图）

说起八卦，对中国人来说，实在是太熟悉了，历代的数术文化都在运用八卦演易。

在古代的时候，人们一直是将八卦配上数字使用，常见的有先天八卦卦序数，将八卦映射到从一开始的八个数；也有后天八卦配上洛书九宫数，这个映射多了点内容，因为八卦配九数，那要求有个卦要对映两个数字。

有个非常实际的例子，我们搜索正见网针灸类文章，有一篇《中医基础：灵龟八法》，这篇文章讲的就是后天八卦配上洛书九数，结果在针灸中有着奇妙的运用。

和所有的中国数术文化一样，八卦同样只运用九数，没有复杂的计算，更谈不上近代的西方数学。

那么，八卦在西方数学眼中会是什么样的呢？不用太多的例子，我们只搜集两个非常有趣的数字规律，涉及的数学内容，在西方文化中都是极具典范意义的。

规律之一：二進制与阴阳爻

西方人，莱布尼兹发明了二進制，这个方法只用0和1两个数码表示数。比如，六十四表示为1000000，三十二表示为100000。对今天的人来说，这是电脑数学。

莱布尼兹的时代，正是中国的清朝。那时候，有个传教士在中国，给莱布尼兹写了封信，信里面画了伏羲六十四卦方圆图。

莱布尼兹看了后，得出的看法是，他所发明的二進制竟然在更古老的时候，就被东方的圣人所认识。

具体的内容，看上去很简单，将阳爻换成1，阴爻换成0，那么八卦就成了二進制表示数。按照这个办法，结果就将自下而上的卦爻转换成了自左至右的数字。

乾卦，表示111；兑卦，表示110；
离卦，表示101；震卦，表示100；
巽卦，表示011；坎卦，表示010；
艮卦，表示001；坤卦，表示000。

这样，八卦就演变成了二進制中全部的三位数。类似的，六爻卦有六十四个，正好表示了二進制中全部的六位数。

莱布尼兹的这个发现非同小可，他甚至说：

现在如有一圣人欲选择一优秀民族，加以奖励，那么，他的金苹果的赐与，一定会落到中国人的身上。[1]

规律之二：八周期与黄金比

在西方历史上，人们很早就认识了黄金比，近似的数值是0.618。这个数字经常出现在一些艺术作品中。黄金比的准确数值，是个不循环的无限小数，可以有分数来近似的表示。

和黄金比相关的是一个著名的数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，这个数列可以无止境的写下去，规律是相邻的两个数，其和正好是紧接在后面的一个数。
0+1=1；1+1=2；1+2=3；2+3=5；......
这个数列被称作斐波那契数列，任取相邻的两个数，前一个与后一个的比值可以近似的表示黄金比，而且越靠后，越接近黄金比的真实值。

实际演算正是如此：1/2=0.5；3/5=0.6；8/13=0.61538...；
89/144=0.618055...；987/1597=0.618033...；
黄金比=0.618033...。

非常有趣的是，这个数列竟然可以和八卦沟通上。在"规律之一"的基础上，将每个卦的阴爻数目（或阳爻数目）罗列出来。实际上，相当于统计那些三位数中0与1的个数。

乾卦，表示111，阳爻三，阴爻零；
兑卦，表示110，阳爻二，阴爻一；
离卦，表示101，阳爻二，阴爻一；
震卦，表示100，阳爻一，阴爻二；
巽卦，表示011，阳爻二，阴爻一；
坎卦，表示010，阳爻一，阴爻二；
艮卦，表示001，阳爻一，阴爻二；
坤卦，表示000，阳爻零，阴爻三。

按照先天八卦的顺序，从乾卦开始，反时针方向排列八卦，顺序如下：乾卦、兑卦、离卦、震卦、坤卦、艮卦、坎卦、巽卦，巽卦过了回到乾卦，如此构成环状排列。

现在，可以写出八卦和上面数列的对照表了。

乾卦，表示111，阴爻零，0，21，987
兑卦，表示110，阴爻一，1，34，1597
离卦，表示101，阴爻一，1，55，2584
震卦，表示100，阴爻二，2，89，4181
坤卦，表示000，阴爻三，3，144，6765
艮卦，表示001，阴爻二，5，233，...
坎卦，表示010，阴爻二，8，377，...
巽卦，表示011，阴爻一，13，610，...

这张表的要点在于，每行写入的数，除以3的余数，正好是该行卦中阴爻的数目。其中阴爻为零和阴爻为三，在同余意义下等效，都表示该行的数正好是3的倍数。

八卦是东方人得天独厚的文化，站在西方数学角度来看，竟然也是如此有趣。

参考文献

[1] [日]五莱欣造著 《儒教对于德国政治思想的影响》刘百闵、刘燕谷译 商务印书馆，1938.260）